Rownanie adwekcji

Dla przepływu jednowymiarowego ze stałą prędkością v = c, równanie to przyjmuje postać:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + c \frac{\partial \rho}{\partial x} = 0 $$

Równanie to opisuje unoszenie pewnej substancji przez przepływający płyn. Nietrudno sprawdzić, że dowolna funkcja w postaci fali biegnącej: $u(x, t) = f (x − ct)$, spełnia to równanie.

Metoda Laxa-Wendroffa

$$u_{i,j+1}=\frac{1}{2}\beta(1+\beta)u_{i-1,j}+(1-\beta^2)u_{i,j}-\frac{1}{2}\beta(1-\beta)u_{i+1,j}$$

Rownanie Burgersa

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \epsilon \frac{\partial (u^2/2)}{\partial x} = 0$$

Mozna na nie spojrzeć jak na równanie adwekcji, w którym prędkość fali c = $\epsilon$u jest proporcjonalna do amplitudy. Powoduje to zmianę kształtu fali w czasie. Wyższe części fali będą przemiaeszczać się na front, w efekcie tworząc ostry brdzeg, nazywany falą uderzeniową.

Algorytm skokowy

$$u_{i,j+1} = u_{i,j-1} - \beta \left[\frac{u_{i+1,j}^2-u_{i-1,j}^2}{2}\right], \beta=\frac{\epsilon}{\Delta x / \Delta t}$$

Metoda Laxa-Wedroffa

$$u_{i,j+1} = u_{i,j} - \frac{\beta}{4} \left(u_{i+1,j}^2-u_{i-1,j}^2\right) +\frac{\beta^2}{8}\left[(u_{i+1,j}+u_{i,j})\left(u_{i+1,j}^2-u_{i,j}^2\right)-(u_{i,j}+u_{i-1,j})\left(u_{i,j}^2-u_{i-1,j}^2\right)\right] , \beta=\frac{\epsilon}{\Delta x / \Delta t}$$